ترجمه مقاله سبد سهام و تنوع بخشی

  

نمونه ترجمه تخصصی حسابداری و اقتصاد

 

2.3     Portfolios and diversification

2.3. سبدسهام و  تنوع‌بخشی

We began this chapter by talking about diversification in share portfolios and now we return to this theme. The essential risk idea can be captured with the advice: ‘Don’t put all your eggs in one basket’. If there is the option to do so, then it is better to spread risk so that different risk events act on different parts of an entire portfolio of activities. In a stock market context, investing in a single share will carry the risk that all one’s money is lost if that firm goes bankrupt. Splitting an investment between a portfolio of many different shares automatically reduces    the probability of this very extreme result. The final result for the investor is the sum of the results obtained for each share in the portfolio (weighted according to the amount invested). Adding these together ensures that a bad result in one    part of the portfolio is likely to be balanced by a good (or less bad) result in  another part of the  portfolio.

ما این فصل را با صحبت در مورد تنوع‌بخشی در سبد سهام آغاز کردیم و اکنون به این موضوع بر می گردیم. ایده مهم خطر را می توان با توصیه زیر متوجه شد: «همه تخم مرغ های خود را در یک سبد قرار ندهید». اگر گزینه ای برای انجام این کار وجود دارد، بهتر است خطر را پخش کنید تا احتمال زیان بر روی بخش های مختلف از کل سبد فعالیت هایتان اعمال شود. در زمینه بازار سهام، سرمایه گذاری بر روی یک سهم این خطر را دارد که در صورت ورشکستگی آن، کل پول فرد از بین برود. تقسیم سرمایه گذاری بین سهام مختلف سبد به طور خودکار احتمال وقوع این نتیجه بسیار سنگین را کاهش می دهد. نتیجه نهایی سرمایه گذار، مجموع نتایج بدست آمده برای هر سهم در سبد می باشد(با توجه به میزان سرمایه گذاری سنجیده شده). با افزودن این موارد به یکدیگر، اطمینان حاصل می شود که نتیجه بد در یک بخش از سبد با نتیجه خوب (یا کمتر بد) در بخش دیگر سبد، متعادل می شود

برای دریافت جدیدترین مقالات انگلیسی رشته حسابداری کلیک کنید

 

2.3.1 Adding random variables

2.3.1. افزودن متغیرهای تصادفی

We will start by looking in more detail at what happens when random variables are added together. If we consider the sum of two random variables X  and Y , each representing a loss, then we can ask: What is the probability that the sum of the two is greater than a given value? To answer this question, we take U=X+Y  and consider Pr(U ≥ z = 1 − F_U(z). This is not an easy calculation to do in general, since we need to balance the value of X with the  value of Y .

ما با جزئیات بیشتر شروع خواهیم کرد تا ببینیم وقتی متغیرهای تصادفی با هم جمع می شوند، چه اتفاقی می افتد. اگر مجموع دو متغیر تصادفی X و Y را در نظر بگیریم که هر یک از آنها زیان را نشان می دهند، می توان پرسید: احتمال اینکه مجموع این دو از یک مقدار مشخص بیشتر باشد چیست؟ برای پاسخ به این سوال، ما

U=X+ Y   و P_r(U ≥ z = 1 - F_U(z)  را در نظر می گیریم. انجام این محاسبه آسان نیست، زیرا ما باید مقدار X را با مقدار Y متعادل کنیم. 

Example 2.2 .   Combination of two discrete random variables.

مثال 2.2. ترکیبی از دو متغیر تصادفی گسسته.

To illustrate this we look at an example where X and Y can each take values between 1 and 5 with the probabilities given in Table 2.1.

برای نشان دادن این امر، به بررسی مثالی می پردازیم که در آن X و Y با احتمالات نشان داده شده در جدول 2.1 می توانند مقادیر بین 1 تا 5 را بگیرند.

We can calculate the probability of U=X+Y being 8 or more by considering the three possibilities: X =3 and Y=5; X=4 and Y≥ 4; and X=5 and   Y≥ 3. When X and Y  are independent, this shows that the probability of U≥ 8 is given by

با در نظر گرفتن سه احتمال ذیل می توانیم U=X+Y  را برابر یا بزرگتر از 8 محاسبه کنیم: X = 3  و Y=5 ؛ X=4  و Y≥4 ؛ و X=5  و Y≥3 . وقتی X و Y مستقل باشند، این امر نشان می دهد که احتمال U≥8  بواسطه معادله زیل به دست آمده است:

0.2 × 0.1 + 0.2 × (0.1 + 0.1) + 0.2 × (0.3 + 0.1 + 0.1) = 0.16.

 

At  first  sight  the  probability  here  is  smaller  than  we  might  expect.  There  is a probability of 0.4 that ≥ 4  and  a  probability  of  0.2  that  Y ≥ 4 .  Yet the probability that X + Y ≥ 8  is smaller than both these figures. This is a simple   example of the way that adding independent random variables tends to reduce overall risk levels.       

در نگاه اول، این احتمال در اینجا کوچکتر از انتظار ماست. احتمال 0.4 برایX≥ 4   و احتمال 0.2 برای  Y ≥ 4  وجود دارد. با این وجود احتمال اینکه X+Y≥8  باشد، کمتر از هر دوی این مقادیر است. این یک مثال ساده از روشی است که در آن افزودن متغیرهای تصادفی مستقل تمایل دارد تا سطح خطر کلی را کاهش دهد.

The same kind of calculation can be made for more general random variables taking integer values 1, 2, ..., M,  where  we  write  p_k = P_r(X  = k)   and  q_k = P_r(Y  = k) . Then

همین نوع محاسبه را می توان تر با در نظر گرفتن اعداد صحیح 1، 2،... ، M انجام داد برای متغیرهای تصادفی عمومی ، که در آن p_k = P_r(X  = k)    و q_k = P_r(Y  = k)  را می نویسیم. آنگاه

P_r(X + Y ≥ z) = p_z-M (qM ) + p_z-M+1(qM-1 + q_M) + ... + p_M (qz-M + ... + q_M )

We  need 2M ≥ z >M   for this formula to hold (so that the subscript z -M   is   in the range 1, 2, ..., M).

ما برای حفظ این فرمول به2M ≥ z >M     نیاز داریم (به این ترتیب که زیر نویس z -M در محدوده 1، 2،...،M  می باشد).

We can translate this formula into an integral form for continuous random variables.  Suppose  that  X  and  Y   are  independent  and  the  random  variable X has density function fX and CDF FX, while the random variable Y has density function fY and CDF FY . To start with we suppose that both random variables take values in the range [0,M]. As before, we take U  = X + Y . Then

ما می توانیم این فرمول را به صورت انتگرال برای متغیرهای تصادفی پیوسته تبدیل کنیم. فرض کنید X و Y مستقل باشند و متغیر تصادفی X دارای تابع چگالی f_X و CDF F_X باشد، در حالی که متغیر تصادفی Y دارای تابع چگالی f_Y  و CDF F_Y  می باشد. برای شروع فرض می کنیم که هر دو متغیر تصادفی مقادیری را در محدوده [0,M]  اتخاذ می کنند. مانند قبل، ما U = X + Y را در نظر می گیریم.

این امر به طور شهودی منطقی است: اولین عبارت این احتمال می باشد که X آنقدر عدد کوچکی است که X + Y کمتر از z می شود

سفارش ترجمه تخصصی رشته حسابداری

There is an equivalent formula that applies when the variables do not have  finite ranges. This is like taking M infinitely large and we get

یک فرمول معادل وجود دارد که وقتی متغیرها محدوده متناهی نداشته باشند، اعمال می شود. این انر مانند این است  

به این احتمال نیاز داریم: حدود 16٪ این شانس وجود دارد که این آیتم بعد از 30 روز هنوز خراب نشده باشد یا هنوز در حال تعمیر باشد.

It is often difficult to find mathematical expressions for the convolution integrals that appear when adding distributions together. The equivalent formula if    we want to consider the sum of more than two variables is even harder. sual way to deal with these difficulties is to work with the moment generating function of the distribution rather than the distribution itself. But to start to disuss moment generating functions will take us too far away from our main aim in this book. Instead we will introduce a different approach to evaluating risk in  a portfolio; we will give up something in terms of exact probabilities, but we  will make a big gain in terms of ease of evaluation.

اغلب یافتن عبارات ریاضی برای انتگرال های کانولوشن که هنگام جمع کردن توزیع ها با هم ظاهر می شوند، دشوار است. اگر بخواهیم جمع بیش از دو متغیر را در نظر بگیریم، فرمول معادل آن حتی سخت تر هم می شود. روش معمول برای مقابله با این تفاوت ها این است که با تابع تابع مولد گشتاورتوزیع کارکنیم نه خود توزیع. اما شروع بحث در مورد توابع مولد گشتاور ما را از هدف اصلی مان در این کتاب بسیار دور می کند. در عوض، ما یک روش متفاوت برای ارزیابی خطر در یک سبد معرفی خواهیم کرد؛ ما به لحاظ احتمالات دقیق از چیزی صرف نظر خواهیم کرد، اما به لحاظ سهولت ارزیابی، سود بزرگی کسب خواهیم کرد

سفارش ترجمه تخصصی رشته حسابداری

Instead of looking  at  specific  probabilities  we  look  instead  at  the  spread  of values, as measured by the standard deviation (or the variance). Again we consider two independent random variables. Remember that when X and Y are independent we can add their variances, i.e. for independent X and Y , the variance of X + Y  is the sum of the variances of X and Y , which we can write as

به جای بررسی احتمالات خاص، به گسترش مقادیر می پردازیم، چرا که با انحراف معیار (یا واریانس) اندازه گیری شده اند. مجدد دو متغیر تصادفی مستقل را در نظر می گیریم. به یاد داشته باشید که وقتی X و Y مستقل هستند، می توانیم واریانس های آنها جمع کنیم، یعنی برای X و Y مستقل، واریانس X + Y مجموع واریانس های X و Y است که می توانیم به صورت زیر بنویسیم:

var(X + Y) = var(X) + var(Y )

The standard deviation of  a  random  variable  X, which  we  write  as  σX, is  just the square root of the variance, var(X), so when X and Y  are independent,

انحراف معیار متغیر تصادفیX ، که ما آن را به صورت σ_X می نویسیم، فقط جذر واریانس، var (X) است، بنابراین وقتی X و Y مستقل هستند،

σ_X+Y  = var(X) + var(Y ) = σ_X²  + σ_Y ²

We can extend this formula to any number of random variables. The simplest case of all is where we have a set of random variables X1, X2, . .., XN  which        are all independent and also all have the same standard deviation, so we can  write

ما می توانیم این فرمول را با هر تعداد متغیر تصادفی گسترش دهیم. ساده ترین حالت این است که ما مجموعه ای از متغیرهای تصادفیX₁, X₂, . .., X_N  داریم که همه مستقل هستند و همچنین همه دارای انحراف معیار یکسانی می باشند، بنابراین می توانیم بنویسیم

σ_X = σ_X1 = σ_X2 = ... = σ_XN

Then

سپس می توانیم بنویسیم

σ_X1+X2+…+XN = σ_X1¹+σ_X2²+…+σ_XN² = Nσ_X² =N  σ_X

This formula will obviously apply when all the variables have the same distri- bution (automatically making their standard deviations equal). For example, the individual random variables might be the demand for some product in successive weeks, when we have no reason to expect changes in the average demand over time. Then√the standard deviation of the total demand over, say, 10 weeks is just given by 10σ where σ is the standard deviation over a single week, provided that demand in successive weeks is independent.

این فرمول زمانی مشخص خواهد شد که همه متغیرها توزیع یکسانی داشته باشند (به طور خودکار انحراف معیارهای آنها برابر شود). به عنوان مثال، ممکن است متغیرهای تصادفی منفرد در هفته های متوالی خواستار برخی از محصولات باشد، در حالی که هیچ دلیلی برای انتظار تغییر در میانگین تقاضا ​​در طول زمان نداریم. آنگاه، انحراف معیار تقاضای کل، مثلاً 10 هفته، فقط با 10σ   نشان داده می شود، در حالی که σ انحراف معیار یک هفته است، به شرط اینکه تقاضا در هفته های متوالی، مستقل باشد.

The key point to remember is:

نکته کلیدی برای یادآوری این است:

The standard deviation of the sum of N identical independent random variables is square root N times the standard deviation of one of the random variables.

انحراف معیار مجموع N متغیر تصادفی مستقل یکسان، برابر با جذر N بار انحراف معیار یکی از متغیرهای تصادفی است.

2.3.2  Portfolios with minimum variance

2. 3.2. سبدهای با حداقل واریانس

Now consider a situation where a portfolio is constructed from investing an amount wi in a particular investment opportunity i, where i = 1, 2, ..., N . We let  Xi be the random variable giving the value of investment i  at the end of the year.  So the value of the portfolio is

حال شرایطی را در نظر بگیرید که در آن یک سبد از طریق سرمایه گذاری مقدار w_i در فرصت سرمایه گذاری خاصi  ساخته شده است که در آن i = 1, 2, ..., N می باشد. فرض می کنیم X _i  متغیر تصادفی باشد که ارزش سرمایه گذاری i را در پایان سال نشان می دهد. بنابراین ارزش سبد برابر است با

Z = w₁X₁ + w₂X₂ + ... + w_NX_N

 

We want to find the  variance  of  Z, and  again  for  simplicity  we  will  suppose not only that all the Xi  are independent, but also that they all have the same variance, σ 2  (so σX  is the standard deviation of Xi ).

ما می خواهیم واریانس Z را پیدا کنیم و مجدد برای سادگی فرض خواهیم کرد که نه تنها همه X _i   ها مستقل هستند، بلکه همه آنها دارای واریانس یکسان σ _X²  نیز می باشند (بنابراین 𝜎_𝑋 انحراف معیار X _i  است).

When a random variable is multiplied by w, the standard deviation is multi- plied by w and the variance is multiplied by w2. So the variance of the value of the entire portfolio  is

هنگامی که یک متغیر تصادفی در w ضرب شد، انحراف معیار در w ضرب شده و واریانس در w²ضرب می شود. بنابراین واریانس ارزش کل سبد برابر است با:

var(Z) = var(w₁X₁) + var(w₂X₂) + ... + var(w_N X_N)

= w₁² σ_X1²+ w₂² σ_X2²+ … + w_N² σ_XN²= w_X² σ_XN²w₁² +w₂² +…+w_N²

If we have a total amount W  to invest and we split our investment equally (after  all,  each  investment  opportunity  has  the  same  variance),  then  each  wi    W/N and

اگر کل مبلغ W را برای سرمایه گذاری داشته باشیم و سرمایه گذاری خود را به طور مساوی تقسیم کنیم (به هر حال، هر فرصت سرمایه گذاری واریانس یکسانی دارد) ، آنگاه هر w_i= W/N   و

var(Z) = σ_X²  N(W/N)² = (1/N)σ_X²  W²

We may want to minimize the standard deviation of the value of the portfolio when the individual investments have different standard deviations. This will be     a good idea if there is no difference between the investments in terms of their average performance. Perhaps the first thought we have is to put all of our money into the best of the investment opportunities; in other words, put everything into  the single investment that has the smallest standard deviation. It will certainly       be sensible to invest more of our total wealth in investments with small standard deviations, but the principle of diversification means that we can do better by spreading our investment across more than one investment opportunity.

ممکن است زمانی که سرمایه گذاری های فردی انحراف معیار متفاوتی داشته باشند، بخواهیم انحراف معیار ارزش سبد را به حداقل برسانیم. اگر بین سرمایه گذاری ها از نظر میانگین عملکردشان تفاوتی ​​وجود نداشته باشد، این امر ایده خوبی خواهد بود. شاید اولین فکری که می کنیم این باشد که تمام پول خود را صرف بهترین فرصت های سرمایه گذاری کنیم؛ به عبارت دیگر، همه چیز را در یک سرمایه گذاری واحد قرار دهید که دارای کمترین انحراف معیار است. مطمئناً منطقی خواهد بود که بیشتر سرمایه خود را در سرمایه گذاری با انحراف معیارهای کم قرار دهیم، اما اصل تنوع‌بخشی بدان معناست که ما می توانیم با گسترش سرمایه گذاری خود در بیش از یک فرصت سرمایه گذاری، عملکرد بهتری داشته باشیم.

To illustrate the principle  we  can  consider  investing  a  total  amount  W  in one of two stocks which are independent of each other. We will suppose that investing $1 in stock 1 gives a final value which is a random variable with mean     μ and standard deviation σ1. On the other hand, investing $1 in stock 2 gives the same average final value μ, but with a standard deviation σ2. So, whatever investment choice is made, the expected final value is μW . Then the problem of minimizing the standard deviation can be written as an optimization problem

برای نشان دادن این اصل می توان کل مقدار سرمایه گذاریW  را در یکی از دو سهم مستقل از یکدیگر در نظر گرفت. ما فرض خواهیم کرد که 1 دلار سرمایه گذاری در سهام 1 یک مقدار نهایی به ما می دهد که یک متغیر تصادفی با میانگین μ و انحراف معیار σ₁ می باشد. از سوی دیگر، 1 دلار سرمایه گذاری در سهام 2 همان میانگین مقدار نهایی μ را اما با انحراف معیار σ₂ نشان می دهد. بنابراین، هر گزینه سرمایه گذاری انجام شود، مقدار نهایی مورد انتظار μW می باشد.  آنگاه می توان مشکل به حداقل رساندن انحراف معیار را به عنوان یک مسئله بهینه سازی به شرح ذیل نوشت

minimize    

به حداقل رساندن        W₁² σ₁²  +W₂²σ₂²

subject

منوط به

w₁ + w₂ = W,

w₁ ≥ 0, w₂ ≥ 0.

In this case, with just two investments, the problem has a simple geometrical interpretation,  since  the  expression  W₁² σ₁²  +W₂²σ₂² gives  the  distance  from  a point with coordinates (w₁σ₁,w₂σ₂ ) to the origin. Moreover, the constraints imply that this point lies somewhere on the straight line between (W σ₁, 0 ) and (0,Wσ₂ ). These two endpoints correspond to what happens if we invest only in one or other of the two options. All this is illustrated in Figure 2.2 for a case with σ1 = 2σ2.

سفارش ترجمه تخصصی رشته حسابداری

در این حالت، این مسئله صرفاً بواسطه دو سرمایه گذاری، یک تفسیر هندسی ساده دارد، زیرا عبارت W₁² σ₁²  +W₂²σ₂²   فاصله را از یک نقطه با مختصات (w₁σ₁,w₂σ₂ ) در مبدا نشان می دهد. علاوه بر این، محدودیت ها نشان می دهد که این نقطه در خط مستقیم جایی بین W σ₁, 0 ) و (0,Wσ₂ ) قرار می گیرد. اگر فقط روی یک یا دو گزینه دیگر سرمایه گذاری کنیم، این دو نقطه پایانی با آنچه اتفاق می افتد، مطابقت می یابد. همه اینها در شکل 2.2 برای موردی با σ₁ = 2σ₂  نشان داده شده است.

 

Figure 2.2 Choice of investment amounts to  minimize  standard  deviation  of return.

شکل 2.2 انتخاب مقادیر سرمایه گذاری برای به حداقل رساندن انحراف معیار بازده.

In the case shown in the figure (with σ₁ = 2σ₂ ) we can find the best choice of weights simply by substituting  w₂=W- w₁ , which means that the  objective

در حالت نشان داده شده در شکل (باσ₁ = 2σ₂  ) می توانیم به راحتی و با جایگزینیw₂=W- w₁   بهترین انتخاب وزنی را پیدا کنیم، این بدان معنی است که 

W₁² 4σ₂²  +(W-w₁)²σ₂²   

We can use calculus to find the minimum of this expression, which occurs when w₁ = W/5 and w₂ = 4W/5. The resulting standard deviation  is

ما می توانیم از این محاسبات برای یافتن مینیمم این عبارت استفاده کنیم، که وقتی w₁ = W/5  و w₂ = 4W/5 باشد، انجام می شود. انحراف معیار حاصل به شرح ذیل است

425 W² σ₂²  + 1625 W² σ₂²  = 205 Wσ₂ .

Worked  Example  2.4 Minimizing  variance  with  two  investments

نمونه کار شده 2.4. به حداقل رساندن واریانس با دو سرمایه گذاری

Andy has $100 000 to  invest  for  three  years  and  believes  that  investment  in US equities will deliver the same average returns as investment in an emerging market fund. He wants to split his investment between a mutual fund investing      in US stocks, which he believes will, on average, deliver him $120 000 after     three years with a standard deviation of $4000; and an emerging market fund      that he believes will also deliver $120 000 after three years, but with a standard deviation of $12 000. Assuming the returns in the two funds are independent,    how should he split his investment to minimize his risk?

اندی 100.000 دلار را برای سه سال سرمایه گذاری می کند و معتقد است که سرمایه گذاری در سهام ایالات متحده بازده میانگمتوسطی مشابه با ​​سرمایه گذاری در صندوق بازار نوظهور خواهد داشت. او می خواهد سرمایه گذاری خود را بین یک صندوق سرمایه گذاری مشترک در سهام ایالات متحده که معتقدست پس از سه سال به طور متوسط ​​120 هزار دلار با انحراف معیار 4000 دلار به او تحویل می دهد؛ و یک صندوق بازار نوظهور که معتقدست آن هم پس از سه سال 120 هزار دلار اما با انحراف معیار 12000 دلار به او تحویل می دهد، تقسیم کند.  با فرض مستقل بودن بازده در این دو صندوق، چگونه باید سرمایه گذاری خود را تقسیم کند تا خطر خود را به حداقل برساند؟

Solution

راه حل

We  work in $1000s. Suppose Andy invests an amount x  in the US fund and 100 −x in the emerging market fund. His return after three years is  + (100 - x)V  ,  where U is the return from the US fund and V is the return from the emerging market fund. Thus, the expected return is

ما بر روی 1000 دلار کار می کنیم. فرض کنید اندی مبلغ x را در صندوق ایالات متحده و مبلغ 100 −x  را در صندوق بازار در حال ظهور سرمایه گذاری کند. بازده وی پس از سه سال xU + (100 - x)V  است، که در آن U بازده صندوق ایالات متحده و V بازده صندوق بازار در حال ظهور است. بنابراین، بازده مورد انتظار به شرح ذیل است:

xE (U ) + (100 - x)E(V ) = 120

The variance of this return is

واریانس این بازده به شرح ذیل است

x²var(U ) + (100 - x)² var(V ) = 16x² + 144(100 - x)²

We  want to choose x  to minimize the square root of this, but the right choice of     x  will also minimize the variance. To  find the minimum we take the derivative  and set it equal to zero. So the optimal x is given by the solution to

ما می خواهیم x را برای به حداقل رساندن جذر این مورد انتخاب کنیم، اما انتخاب صحیح x نیز واریانس را به حداقل می رساند. برای یافتن مینیمم، مشتق می گیریم و آن را برابر با صفر قرار می دهیم. بنابراین x مطلوب توسط راه حل ذیل نشان داده می شود

32x - 288(100 - x) = 0

Thus, x        28 800/320  90. Andy should invest $90 000 in the US fund and the remaining $10 000 in the emerging market fund.      

بنابراین، x=28 800/320=90. اندی باید 90 هزار دلار در صندوق ایالات متحده و 10 هزار دلار باقیمانده را در صندوق بازار نوظهور سرمایه گذاری کند.

We can also ask what happens with a large number of investment opportunities, so that the number N goes to infinity. We begin by thinking about the case when all N  stocks have the same standard deviation. We  have already shown     that the standard deviation of the overall return when all the individual stocks   have standard deviation σX is given by

همچنین می توانیم بپرسیم که با تعداد زیاد فرصت های سرمایه گذاری چه اتفاقی می افتد، در نتیجه تعداد N  به سمت بینهایت می رود. ما با این فکر شروع می کنیم که همه سهام N دارای انحراف معیار یکسان هستند. قبلاً نشان داده ایم که انحراف معیار بازده کلی وقتی همه سهام دارای انحراف معیار σ_X  باشند، به شرح ذیل نشان داده می شود:

σ_Xw₁²+ w₂²  +….+w_N²

This expression is minimized by splitting the investment of W  equally, so that w_i = W/N for i = 1, 2 ...N, giving a standard deviation of

 این عبارت با تقسیم سرمایه گذاری W به طور برابر به حداقل می رسد، به طوری که w_i = W/N برایi = 1, 2 ...N ، انحراف معیار ذیل را نشان می دهد

σ_X(W/N)²+ (W/N)² + ... + (W/N)²    = σ_XWN   =σ_XWN  

 Hence, in the case of independent investments, as the number of different investments goes to infinity and the amount invested in each gets smaller and smaller,  the overall standard deviation goes to zero. And so the risk is also reduced to    zero.

از این رو، در مورد سرمایه گذاری های مستقل، همانطور که تعداد سرمایه گذاری های مختلف به سمت بینهایت می رود و مقدار سرمایه گذاری شده در هر کدام کوچکتر و کوچکتر می شود، انحراف معیار کلی به صفر می رسد. و بنابراین خطر نیز به صفر می رسد.

We can establish that the same behavior occurs in the more general situation, where stocks have different standard deviations (see Exercise 2.6). If none of the  standard  deviations  is  more  than σ_max ,  then  we  can  create  a  portfolio  with  standard deviation less than W σ_max/ N . Again this expression approaches zero as N gets larger and larger. Thus, we have established that there is really no upper bound to the benefits of diversification. Provided we can find new investment opportunities which are independent of our existing  portfolio,  and there is no  extra cost to investing in these, then we always reduce the risk by adding these extra investments into our portfolio and rebalancing accordingly.

ما می توانیم ثابت کنیم که در وضعیت عمومی تر، که در آن سهام انحراف معیارهای مختلف دارند، رفتار یکسانی رخ می دهد (به تمرین 2.6 مراجعه کنید). اگر هیچ یک از انحرافات استاندارد بیشتر ازσ_max   نباشد، در این صورت می توان سبدی با انحراف معیار کمتر ازW σ_max/ N   ایجاد کرد. مجدداً این عبارت با بزرگتر و بزرگتر شدنN  به صفر نزدیک می شود. بنابراین، ما ثابت کردیم که هیچ محدودیتی برای مزایای تنوع‌بخشی وجود ندارد. به شرطی که بتوانیم فرصت های جدید سرمایه گذاری که مستقل از سبد موجود ما هست را پیدا کنیم و هیچ هزینه اضافی برای سرمایه گذاری در این زمینه وجود نداشته باشد، آنگاه همیشه با افزودن این سرمایه گذاری های اضافی به سبد سهام مان و تعادل مجدد متناسب با آن، خطر را کاهش می دهیم.

 2.3.3 Optimal portfolio theory

2.3.3. نظریه سبد سهام بهینه

Now we will look at the case when different potential investments have different expected profits as well as different variances. This is the foundation of what  is often called simply portfolio theory. When there are differences in expected profit for individual investments, there will also be differences in the expected profit for a portfolio and so we can no longer simply find the portfolio which achieves the minimum standard deviation, we need to also consider the expected return of the portfolio. This will  mean  a  trade-off:  greater  diversification  will lead to less risk but will inevitably involve more of the lower return investments, and along with this a reduction in the overall expected return.

حال ما به این قضیه خواهیم پرداخت که چه زمانی سرمایه گذاری های مختلف بالقوه دارای مزایای مورد انتظار متفاوت و همچنین واریانس های مختلف می باشند. این امر مبنای آنچه می باشد که اغلب به عنوان نظریه سبد ساده نامیده می شود. وقتی اختلافاتی در سود پیش بینی شده سرمایه گذاری های فردی وجود داشته باشد، اختلافاتی نیز در سود پیش بینی شده هر سبد وجود خواهد داشت و بنابراین ما دیگر نمی توانیم به سادگی سبدهایی را پیدا کنیم که به حداقل انحراف معیار دست یابد، باید بازده مورد انتظار را نیز در نظر بگیریم. این امر به معنای توازن است: تنوع‌بخشی بیشتر منجر به خطر کمتری خواهد شد، اما به ناچار دربردارنده سرمایه های کم بازده بیشتر خواهد بود و کاهش بازده کلی پیش بینی شده ای نیز با خود دارد.

To illustrate this idea, suppose that we have three potential investments: A, B and C. We can explore the result of putting different weights on different components within the portfolio, and end up with a set of possible trade-offs between risk and return. Suppose that the expected profit from a $10 000 investment and   the standard deviations for A, B and C are as follows:

برای نشان دادن این ایده، فرض کنید که ما سه سرمایه گذاری بالقوه داریم: A ،B  وC. ما می توانیم نتیجه قرار دادن وزن های مختلف بر روی مولفه های مختلف سبد را بررسی کنیم و به یک مجموعه معاملات احتمالی بین خطر و بازده برسیم. فرض کنید که سود مورد انتظار از سرمایه گذاری 10.000 دلاری و انحراف معیارهایA ، B و C به شرح زیر است:

 

At first sight it may seem that investment C will not be used, since it is dominated by investment B, which has a higher expected profit and at the same time a lower risk (in the sense of a less variable return). But we will see that the advantage of having one more investment in the portfolio may outweigh the fact that it is   an  unattractive investment.

در نگاه اول ممکن است به نظر برسد که سرمایه گذاری C مورد استفاده قرار نخواهد گرفت، زیرا تحت سلطه سرمایه گذاری B است که سود مورد انتظار بیشتری دارد و در عین حال خطر کمتری نیز دارد (به معنای بازده متغیر کمتر). اما خواهیم دید که مزیت داشتن بیشتر از یک سرمایه گذاری در سبد می تواند از این واقعیت مهم تر باشد که این یک سرمایه گذاری جذاب نیست.

Consider the problem of finding the least risk way of achieving a given profit,R. This can be written as an optimization problem:

مشکل پیدا کردن کمترین خطر برای دستیابی به سود مشخص را R در نظر بگیرید. این را می توان به عنوان یک مسئله بهینه سازی به شرح نوشت:

به حداقل می رسد

minimize    

w_A² σ_A²  + w_B² σ_B²  + w_C² σ_C²

منوط به

w_A+ w_B+ w_C= W, w_AR_A + w_BR_B + w_CR_C = R, w_A ≥ 0,w_B ≥ 0,w_C ≥ 0

Here, wA, wB and wC are the sums invested, so W , the total amount, is set to $10 000; RA, RB  and RC  are the expected profits obtained from investing $10 000  in the different investments; and σA,  σB  and  σC  are  the  standard  deviations  of those profits. Notice that the objective we have chosen is to minimize the variance of the overall profit return rather than the standard deviation. But as the standard deviation is just the square root of the variance, whatever choice of weights minimizes one will also minimize the other.

در اینجا، w_A  ،w_B   و w_C  مبالغ سرمایه گذاری شده هستند، بنابراینW ، کل مبلغ ، 10.000 دلار تعیین می شود؛ R_A  ،R_B   و R_C  مزایای مورد انتظار حاصل از سرمایه گذاری 10.000 دلار در سرمایه گذاری های مختلف هستند؛ و σ_A  ، σ_B  و  σ_C  انحراف معیار سودها هستند. توجه داشته باشید که هدفی که ما انتخاب کرده ایم، این است که واریانس بازده کلی سود را به جای انحراف معیار به حداقل برسانیم. اما از آنجا که انحراف معیار فقط جذر واریانس است، هر انتخاب وزنی را به حداقل برسانید، دیگری نیز به حداقل خواهد رسید.

It is possible to write down a complex formula for the optimal solution to      this problem, but rather than do this we will just look at the numerical solution      to  the  problem  with  the  particular  data  given  above.  Figure  2.3  shows  what happens with a whole set of different random choices for the way that the total investment is split up. This figure shows quite clearly the different trade-offs that can be made: we can select a range of different overall standard deviations for     the portfolio down to a minimum of around 50 at an expected profit of about $945.

می توان برای راه حل بهینه این مشکل، یک فرمول پیچیده نوشت، اما به جای این کار فقط به داده های خاص ذکر شده در بالا در راه حل عددی مسئله خواهیم پرداخت. شکل 2.3 نشان می دهد که برای کل مجموعه با گزینه های تصادفی مختلفی که سرمایه به روش آن ها تقسیم شده، چه اتفاقی رخ می دهد. این شکل بوضوح توازن های متفاوتی را که می توان انجام داد، نشان می دهد: ما می توانیم طیف وسیعی از انحراف معیارهای کلی سبد را انتخاب کنیم، آن را تا حدود 50 و با سود پیش بینی شده حدود 945 دلار به حداقل برسانیم.

We  can look in more detail at the boundaries of the set of possible solutions.    If we just consider a combination of two investments then, when we plot the expected profit against the standard deviation, we get a curved line joining the two points. In this example there are three such curved lines depending on which pair  of the original investments we choose. These are the dashed lines in Figure 2.4.  The lightly shaded area is the set of all possible results from different portfolios. The solid line is the boundary giving the minimum standard deviation that can      be achieved at any given value for overall expected profit. For example, the dot at an expected profit of 960 and a standard deviation of 53.95 is the best possible   at this profit level and is achieved by making wA = 0.3924, wB = 0.4152 and        wC  = 0.1924.

ما می توانیم با جزئیات بیشتر مرزهای مجموعه راه حل های ممکن را بررسی کنیم. اگر فقط ترکیبی از دو سرمایه گذاری را در نظر بگیریم، هنگامی که سود مورد انتظار را در برابر انحراف معیار استاندارد ترسیم می کنیم، به یک خط منحنی به هم پیوسته و دو نقطه دست می یابیم. در این مثال بسته به اینکه کدام یک از سرمایه های اصلی را انتخاب می کنیم، سه خط منحنی وجود دارد. اینها خطوط خط چین شده در شکل 2.4 هستند. نواحی با سایه اندک، مجموعه ای از تمام نتایج ممکن در سبدهای مختلف است. خط پررنگ مرزی حداقل انحراف معیار را نشان می دهد که می توان از هر مقدار معین سود کلی مورد انتظار بدست آورد. به عنوان مثال، در این سطح از سود نقطه ای که در بازه سود مورد انتظار 960 و انحراف معیار 53.95 قرار دارد، بهترین حد ممکن می باشد و با ایجاد  w_A =0.3924  ،w_B=0.4152   و w_C= 0.1924  بدست می آید.

2.3.4    When risk follows a normal  distribution

2.3.4. هنگامی که خطر به دنبال توزیع طبیعی رخ دهد

Our discussion of portfolio risk so far has simply looked at the standard deviations for  the  overall  profit  (obtained  from  the  sum  of  random  variables).  There  is a critical assumption about independence of the different investments, but no assumption on the form of the distributions. When the distribution is known, then we can say more about the risks involved, and in particular we can calculate the probability of getting a result worse than some given benchmark level.

دانلود مقالات انگلیسی ترجمه شده رشته حسابداری

بحث ما در مورد خطر سبد تاکنون صرفاً انحرافات معیار سود کلی را (بدست آمده از مجموع متغیرهای تصادفی) بررسی کرده است. یک فرض اساسی در مورد استقلال سرمایه گذاری های مختلف وجود دارد، اما فرضی در مورد شکل توزیع ها وجود ندارد. وقتی توزیع مشخص شد، آنگاه بیشتر می توانیم درباره خطرات موجود صحبت کنیم و به ویژه می توانیم احتمال بدتر شدن نتیجه را نسبت به برخی از سطوح معیار محاسبه کنیم.

 

The most important distribution to look at is the normal distribution. Its importance stems from the way that it approximates the result of adding together a number of different random variables whatever their original distributions.  This is the Central Limit Theorem discussed in Appendix A: Tutorial on  probability theory. At the same time, a normal distribution is easy to work with because the sum of two or more random variables each with a normal distribution also has a normal distribution. If the distribution of profit follows a normal distribution, we can use tables or a spreadsheet to calculate any of the probabilities we might need.

مهمترین توزیع مورد بررسی، توزیع طبیعی است. اهمیت آن ناشی از روشی می باشد که نتیجه جمع متغیرهای تصادفی مختلف را به توزیع اصلی آنها نزدیک می کند. این قضیه حد مرکزی می باشد که در پیوست الف: آموزش نظریه احتمال، مورد بحث قرار گرفته است. در عین حال، کار با یک توزیع نرمال آسان است، زیرا جمع دو یا چند متغیر تصادفی با یک توزیع نرمال نیز دارای یک توزیع نرمال می باشد. اگر توزیع سود از توزیع نرمال پیروی کند، می توانیم برای محاسبه احتمالات از جدول ها یا صفحه گسترده استفاده کنیم.

Example  2.5 Probability  calculation  with  two  normal  distributions

مثال 2.5. محاسبه احتمال با دو توزیع عادی

Consider an example where there are two independent investments, both having a normal distribution for the profits after one year. The first has an expected profit of  $1000 with a standard deviation of $400 and the second has an expected profit of $600 with a standard deviation of $200. If we hold both these investments, what is the probability that we will lose money? Without information on the distribution   of the profit, this probability is not determined, but with the knowledge that the profits follow a normal distribution it becomes easy to answer the question. The sum of the two returns is also a normal distribution with mean of $1000     $600 $1600 and, given that they are independent, the standard deviation is

مثالی را در نظر بگیرید که در آن دو سرمایه گذاری مستقل وجود دارد، هر دو برای سود بعد از یک سال دارای توزیع نرمال می باشند. اولی، سود مورد انتظار 1000 دلار با انحراف معیار 400 دلار و دومی دارای سود مورد انتظار 600 دلار با انحراف معیار 200 دلار می باشد. اگر هر دو سرمایه گذاری را در اختیار داشته باشیم، احتمال ضرر و زیان ما چقدر است؟ بدون اطلاعات در مورد توزیع سود، نمی توان این احتمال را مشخص کرد، اما با آگاهی از اینکه سودها از توزیع نرمال پیروی می کنند، پاسخ به سوال آسان می شود. مجموع دو بازده نیز توزیع نرمالی با میانگین 1000 دلار + 600 دلار = 1600 دلار می باشد و با توجه به مستقل بودن آنها، انحراف معیار به شرح ذیل است

400² + 200² =  200 000 = 447.21

The probability of getting a value less than $0 can be obtained from tables   (it’s the probability of being more than z standard deviations from the mean, where   z     1600/447.21     3.5777)   or,   more   simply,   using   the  normdist function in a spreadsheet. Specifically we have normdist(0, 1600, 447.21, 1) 0.00017329.    Q

احتمال بدست آوردن مقداری کمتر از 0 دلار را می توان از جداول (این احتمال وجود دارد که بیش از انحراف معیار z از میانگین باشد، که در آن 3.5777=447.21/1600 z = می باشد) یا به بیان ساده تر، با استفاده از تابع NORMDIST در صفحه گسترده بدست آورد. به طور خاص ما 0.00017329=(1،447.21،1600،0) NORMDIST را داریم.